台阶 3
台阶3 · 列表法解决实际问题
先按范围分类,再有序列举,不重不漏
取钱、抽卡片这类问题,情况有好几种,想不全就会漏!好办法是列表法:先把所有情况按范围分好类,按从大到小、从少到多的顺序一行行列出来,能凑成目标就打 ✓,不能就打 ✗——清清楚楚,一个都不漏。
📌 台阶小记
先按范围和各种情况分类考虑,再进行有序列举,列举每一类时,可按照从大到小、从少到多的顺序。记住:5 角 × 2 枚 = 1 元;列完表数一数 ✓ 的行,就是答案。
📌 📌 知识点:集合的列举——有序 vs 无序
集合就是把"所有符合条件的情况"看成一堆,用列表法、枝形图一格一格地数,不重不漏。关键是分清:顺序算不算。有序 = 排列(记作 A):顺序不同就算不同。比如"依次取出 2 张",(5,3) 和 (3,5) 是两种不同的取法。无序 = 组合(记作 C):顺序不同算同一种。比如"不同的取法",先拿 1 元还是先拿 5 元,结果都一样,重复的只算一次。乘法原理:第 1 步有 a 种、第 2 步有 b 种,一共就是 a × b 种(一步步相乘)。排列 A(不重复,要按顺序):n 个里选 m 个排好 → 第一个有 n 种、第二个 n−1 种、第三个 n−2 种……一直乘到第 m 个。组合 C(不重复,不管顺序):先按排列算,再除以顺序的重复。比如两人握手,甲-乙和乙-甲是同一次,要除以 2。重复 vs 不重复:能重复选(同一张能再抽)→ 每一步都是 n 种,共 n × n × … = n 的 m 次方;不能重复选 → 每比上一步少一个。
💡 教材例 1:刘安的存钱罐里有 1 张 5 元、4 张 1 元和 8 枚 5 角硬币,想取出 9 元买书,共有多少种不同的取法?
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✏️ 例题讲解
【例 1】刘安的存钱罐里有 1 张 5 元人民币、4 张 1 元人民币和 8 枚 5 角的硬币。他想从中取出 9 元钱用于买书,共有多少种不同的取法?(用列表法分析)
💡 教材例 2:从 1~6 这 6 张数字卡片中,依次取出 2 张,要使它们的和大于 6,有多少种不同的取法?
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✏️ 例题讲解
【例 2】从 1~6 这 6 张数字卡片中,依次取出 2 张卡片,要使它们的和大于 6,有多少种不同的取法?
🏁 本章过关训练
0/10 完成1
王亮的储钱罐里有 1 张 10 元人民币、3 张 5 元人民币和 6 枚 1 元的硬币。他想从中取出 15 元用于买文具,共有多少种不同的取法?(用列表法分析)
种取法
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从 1~5 这 5 张数字卡片中,依次取出 2 张卡片,要使它们的和大于 7,有多少种不同的取法?
种取法
3
李娜有 2 张 20 元人民币、4 张 10 元人民币和 5 张 2 元人民币,她要取出 50 元钱给客人买礼物,共有多少种不同的取法?(用列表法分析)
种取法
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从 1~7 这 7 张数字卡片中,依次取出 2 张卡片,要使它们的和大于 8,有多少种不同的取法?
种取法
5
王浩的储钱罐里有 1 张 50 元人民币、2 张 20 元人民币和 8 枚 5 元的硬币。他想取出 70 元钱交学费,共有多少种不同的取法?(用列表法分析)
种取法
6
从 2~8 这 7 张数字卡片中(数字为 2、3、4、5、6、7、8),依次取出 2 张卡片,要使它们的和大于 10,有多少种不同的取法?
种取法
7
张丽有 3 张 10 元人民币、5 张 5 元人民币和 10 枚 1 角的硬币,她想取出 25 元钱买课外书,共有多少种不同的取法?(用列表法分析)
种取法
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从 1~8 这 8 张数字卡片中,依次取出 2 张卡片,要使它们的和大于 9,有多少种不同的取法?
种取法
9
赵强有 1 张 20 元人民币、3 张 10 元人民币和 10 枚 5 角的硬币(5 角 = 0.5 元),他想取出 35 元钱去春游,共有多少种不同的取法?(用列表法分析)
种取法
10
从 3~9 这 7 张数字卡片中(数字为 3、4、5、6、7、8、9),依次取出 2 张卡片,要使它们的和大于 12,有多少种不同的取法?
种取法