思维课堂 · 五年级数学

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正方形 · 周长

周长 = 边长 × 4

C = 4 a

字母含义:C = 周长,a = 边长

变式(反推):

边长 = 周长 ÷ 4

a = C \div 4

💡 四条边一样长,所以乘 4

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长方形 · 周长

周长 = (长 + 宽) × 2

C = (a + b) \times 2

字母含义:C = 周长,a = 长,b = 宽

变式(反推):

长 + 宽 = 周长 ÷ 2

a + b = C \div 2

长 = 周长 ÷ 2 − 宽

a = C \div 2 - b

宽 = 周长 ÷ 2 − 长

b = C \div 2 - a

💡 长和宽各出现 2 次,所以要除以 2

平面图形 · 面积

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正方形 · 面积

面积 = 边长 × 边长

S = a \times a = a^{2}

字母含义:S = 面积,a = 边长

变式(反推):

边长 = 面积的算术平方根(谁 × 谁 = 面积)

a \times a = S

💡 周长问"一圈",面积问"一大片"

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长方形 · 面积

面积 = 长 × 宽

S = a \times b

字母含义:S = 面积,a = 长,b = 宽

变式(反推):

长 = 面积 ÷ 宽

a = S \div b

宽 = 面积 ÷ 长

b = S \div a

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平行四边形 · 面积

面积 = 底 × 高

S = a \times h

字母含义:S = 面积,a = 底,h = 高

变式(反推):

底 = 面积 ÷ 高

a = S \div h

高 = 面积 ÷ 底

h = S \div a

💡 割补成长方形:底当长、高当宽。高必须垂直于底!

↩ 形象思维 · 台阶2 平行四边形的面积计算

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三角形 · 面积

面积 = 底 × 高 ÷ 2

S = a \times h \div 2

字母含义:S = 面积,a = 底,h = 高

变式(反推):

底 = 面积 × 2 ÷ 高

a = S \times 2 \div h

高 = 面积 × 2 ÷ 底

h = S \times 2 \div a

💡 两个完全一样的三角形拼成平行四边形,所以要 ÷2。反推时别忘 ×2!

↩ 形象思维 · 台阶3 三角形面积问题

梯形 · 面积

面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2

S = (a + b) \times h \div 2

字母含义:S = 面积,a = 上底,b = 下底,h = 高

变式(反推):

上底 = 面积 × 2 ÷ 高 − 下底

a = S \times 2 \div h - b

下底 = 面积 × 2 ÷ 高 − 上底

b = S \times 2 \div h - a

高 = 面积 × 2 ÷ (上底 + 下底)

h = S \times 2 \div (a + b)

💡 两个完全一样的梯形倒着拼,正好是平行四边形(底 = 上底 + 下底)

立体图形 · 表面积

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正方体 · 表面积

表面积 = 棱长 × 棱长 × 6

S = 6 a^{2}

字母含义:S = 表面积,a = 棱长

变式(反推):

一个面的面积 = 表面积 ÷ 6

a^{2} = S \div 6

棱长 = 表面积 ÷ 6 再开方(谁 × 谁 = 一个面)

a \times a = S \div 6

💡 6 个面都是一样大的正方形

↩ 形象思维 · 台阶1 规则物体的表面积问题

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长方体 · 表面积

表面积 = (长×宽 + 长×高 + 宽×高) × 2

S = (ab + ah + bh) \times 2

字母含义:S = 表面积,a = 长,b = 宽,h = 高

变式(反推):

无盖水槽(少上面): 表面积 = 长×宽 + (长×高 + 宽×高) × 2

S = ab + 2 ah + 2 bh

通风管(只有侧面): 侧面积 = 底面周长 × 长

S_{侧} = C_{底} \times L

💡 相对的两个面完全一样,先算 3 种面再 ×2;实际问题要先想"少哪个面"

↩ 形象思维 · 台阶3 生活中的表面积问题

立体图形 · 体积与容积

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正方体 · 体积

体积 = 棱长 × 棱长 × 棱长

V = a^{3}

字母含义:V = 体积,a = 棱长

变式(反推):

棱长 = 谁 × 谁 × 谁 = 体积(把体积写成三个相同的数相乘)

a \times a \times a = V

底面积 = 体积 ÷ 棱长

S_{底} = V \div a

↩ 形象思维 · 台阶4 什么是体积

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长方体 · 体积

体积 = 长 × 宽 × 高

V = abh

字母含义:V = 体积,a = 长,b = 宽,h = 高

变式(反推):

通用式: 体积 = 底面积 × 高

V = S_{底} \times h

高 = 体积 ÷ 底面积

h = V \div S_{底}

底面积 = 体积 ÷ 高

S_{底} = V \div h

💡 容积的算法一样,但要从容器**里面**量,且 1 L = 1 dm³、1 mL = 1 cm³

↩ 形象思维 · 台阶5 与规则物体相关的体积问题

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不规则物体 · 体积(排水法)

物体体积 = 放入后水面升高部分的水的体积

V_{物} = S_{底} \times (h_{后} - h_{前})

字母含义:S底 = 容器底面积,h前/h后 = 放入前后的水面高度

变式(反推):

放入前水面 = 放入后水面 − 升高高度

h_{前} = h_{后} - Δ h

溢水法: 物体体积 = 溢出(排出)的水的体积

V_{物} = V_{溢}

💡 石头占了地方,水才被"挤"上去——被挤上去的水 = 石头的体积