台阶 3

第 3 关 · 挑战极限与本章作业

把截断特征用于长数位与综合整除题

本关练习把整除特征组合起来使用。遇到特殊除数（如 23），灵活运用同余 ≡、加乘余数规则与“负余数”技巧化简求值！

✏️ 例题讲解

【挑战 5】用数字 6、7、8 各两个，要组成能同时被 6、7、8 整除的六位数。请写出一个满足要求的六位数。

📌 知识小记 · 连续折半速算法（被 4 和 8 整除秒杀技巧）

遇到判断 4 和 8 的整除特征，口算有个超级好用的技巧：连续折半（连续除以 2）！───────────────1. 被 4 整除（看末两位，折半 2 次）：💡 速算原理：

4 = 2 \times 2

。末两位是偶数，连续除以 2 两次，如果每次都是整数，就能被 4 整除。• 例 1（能整除）：末两位 68

\to 34 \to 17

✓（两次都是整数，能被 4 整除）• 例 2（不能整除）：末两位 74

\to 37

✗（除一次就变奇数，不能折半 2 次，不能被 4 整除）───────────────2. 被 8 整除（看末三位，折半 3 次）：💡 速算原理：

8 = 2 \times 2 \times 2

。末三位是偶数，连续除以 2 三次，如果每次都是整数，就能被 8 整除。• 例 1（能整除）：末三位 768

\to 384 \to 192 \to 96

✓（三次折半都是整数，能被 8 整除）• 例 2（不能整除）：末三位 786

\to 393 \to

出现奇数不能再除了 ✗（不能被 8 整除）───────────────👉 秒记口诀：4 看末两位折半 2 次，8 看末三位折半 3 次！口算除以 2 比列竖式除以 4 或 8 快得多，做题又快又准！

📌 核心工具 ① · 两个必须背下来的余数规则（五年级奥数固定工具）

1. 加法余数规则：

(A + B) \div m

的余数 =

[(A \div m 的余数 + B \div m 的余数)] \div m

的余数💡 通俗大白话：两个数加起来除以

m

的余数，等于它们各自的余数加起来再看余数。2. 乘法余数规则：

(A \times B) \div m

的余数 =

[(A \div m 的余数 \times B \div m 的余数)] \div m

的余数💡 通俗大白话：两个数相乘除以

m

的余数，等于它们各自的余数乘起来再看余数。👉 【小白话深度举例（图 2）】：

1000 \div 23 = 43 \dots 11

，意思是：1000 除以 23，余 11。写成等式就是：

1000 = 23 \times 43 + 11

。想象你在分饼干，每袋装 23 块。1000 块饼干装了整整 43 袋，最后还剩 11 块零头。前面

23 \times 43

都是整装的大包，全部分光了，对最终的“余数零头”毫无贡献！所以，只要看除以 23 的余数，1000 和 11 的效果一模一样！以后遇到算

1000 x

除以 23 的余数，根据乘法余数规则，直接把庞大的

1000

换成迷你的

11

（变成算

11 x

的余数），计算量瞬间缩小数百倍！

📌 核心工具 ② · 三个等号 ≡ 与 mod 究竟是什么意思？

在初中和奥数数论中，我们经常见到类似

1000 \equiv 11 (mod 23)

的式子：1. 什么是三个等号“ $\equiv$ ”？（同余符号）我们熟悉的“

=

”是说两边的数值绝对相等（比如

5 = 5

）。而三条杠的“

\equiv

”读作同余，它表示两边的数虽然自身大小不同，但是在除以同一个除数时，余数是一模一样的！2. 什么是“mod”？（模）

mod

读作“模”（源自拉丁语 modulo），意思是“以……为除数”或者“在……的游戏规则下”。括号里的

(mod 23)

，意思就是：“除数是 23，大家统一比较除以 23 后的余数”。3. 连起来怎么读、怎么理解？

1000 \equiv 11 (mod 23)

读作：“1000 与 11 模 23 同余”。小白话翻译：“1000 和 11，除以 23 的余数一模一样，都是 11！”在代数式里也是一样：

1000 x + 999 \equiv 11 x + 10 (mod 23)

小白话就是说：不管未知数

x

取什么整数，左边式子除以 23 的余数，永远跟右边

11 x + 10

除以 23 的余数完全相同！

📌 核心工具 ③ · 负余数大揭秘：式子里的 -10 到底是啥意思？

在求解挑战 6 时，会出现这样一个核心式子：

11 x \equiv - 10 \equiv 13 (mod 23)

很多同学第一眼就懵了：余数不都是正的吗？怎么冒出了负数

- 10

？

- 10

又是怎么变成

13

的？1. $- 10$ 是怎么来的？题目要求五位数能被 23 整除（余数为 0），也就是：

11 x + 10

是 23 的倍数（

11 x + 10 = 23 k

）。用同余记号写出来就是：

11 x + 10 \equiv 0 (mod 23)

。像解方程移项一样，两边同时减去 10，就得到了：

11 x \equiv - 10 (mod 23)

。2. 负余数 $- 10$ 的生活小白话含义：“差多少凑整”！平时我们说的余数是“分完之后多出来多少”。而负余数则是“还差多少就能凑成一个整除的包”！还是以“每袋装 23 块饼干”为例：如果你手里有 13 块饼干，这是“多出了 13 块（正余数 13）”；但是换个角度看，只要再来 10 块，不就正好凑齐整整一包 23 块了吗？（

13 + 10 = 23

）所以，“多 13 块”和“还欠 10 块”，在能不能凑成整包的结果上是一模一样的！这里的 $- 10$ 就代表：还差 10 就能被 23 整除！3. 负余数秒变正余数黄金口诀：负余数 + 除数 = 正余数！

- 10 + 23 = 13

所以在除以 23 的世界里，

- 10

和

13

是一对完全等价的“双胞胎”！因此：

11 x \equiv - 10 \equiv 13 (mod 23)

。小白话总结：要求

11 x + 10

能被 23 整除，直接转化成一个超爽的小问题——寻找一个最小的两位数 $x$ ，让 $11 x$ 除以 23 的余数恰好是 13！

✏️ 例题讲解

【挑战 6】一个五位数，它的末三位为 999。如果这个数能被 23 整除，那么这个五位数最小是多少？

📌 本讲回顾

99：两位一截求和；7、11、13：三位一截作差。余数法则：

(A + B)

与

(A \times B)

的余数等于余数相加/乘后再看余数；1000 对 23 余 11，余数世界里 1000 与 11 效果一模一样。同余与负余数：三横线

\equiv

代表余数相同；负余数表示“欠多少凑整”，负余数加上除数立刻变成正余数（

- 10 + 23 = 13

）。

🏁 本章过关训练

0/5 完成

下面有 9 个自然数：48、75、90、122、650、594、4305、786、4100。其中哪些能被 4 整除？哪些能被 25 整除？

有如下 5 个自然数：12345、189、72457821、33366、54289。其中能被 9 整除的有哪些？

有如下 5 个自然数：3124、3823、45235、529、588。其中能被 11 整除的有哪些？

四位数 125□ 中，分别填入一个数字后，得到的三个四位数依次能被 9、11、8 整除。三个填入数字的和是多少？

阿呆买了 72 支同样的钢笔，发票不慎被水浸湿，单价已无法辨认，总价数字也不全，只能认出：□11.4□ 元（□ 表示不明数字）。请问总价是多少？

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