台阶 2

第 2 关 · 7、11、13 的截断作差

每三位一截，奇数段和与偶数段和作差

1001=7×11×13。从个位起每三位一截，奇数段之和与偶数段之和的差能被 7、11 或 13 整除，原数就能被相应除数整除；在数位拆分题中，熟练配合加法余数规则与乘法余数规则，能让复杂整除秒变简单口算！

📌 知识点 ① · 7、11、13 的截断作差法

能被 7、11、13 整除的数：从个位开始每三位一截，奇数段之和与偶数段之和的差能被相应除数整除，原数就能被整除。背后的数学原理：

1001 = 7 \times 11 \times 13

。因为 1001 恰好同时是 7、11、13 的倍数，所以长数可以每三位分段作差，把大数问题瞬间化简！

📌 知识点 ② · 两个必须背下来的余数规则（例 3 必备解题神器）

在解决类似【例 3】的数位填空题时，数会被拆成加法与乘法的混合形式。这时候必须用到五年级数论两大金法则：1. 加法余数规则：

(A + B) \div m

的余数 =

[(A \div m 的余数 + B \div m 的余数)] \div m

的余数💡 通俗口诀：和的余数 = 余数的和（加起来再看余数）。2. 乘法余数规则：

(A \times B) \div m

的余数 =

[(A \div m 的余数 \times B \div m 的余数)] \div m

的余数💡 通俗口诀：积的余数 = 余数的积（乘起来再看余数）。───────────────📌 【例子 1 · 纯加法说明】：求

(2023 + 58) \div 7

的余数是多少？• 传统笨办法：先加起来

2023 + 58 = 2081

，再苦算大除法

2081 \div 7 = 297 \dots 2

（容易算错）。• 加法规则秒杀：

2023 \div 7 = 289

（余数是 0）；

58 \div 7 = 8 \dots 2

（余数是 2）。余数直接相加：

0 + 2 = 2

！秒出答案余数是 2！───────────────📌 【例子 2 · 纯乘法说明】：求

(100 \times 38) \div 7

的余数是多少？• 传统笨办法：硬算

100 \times 38 = 3800

，再算

3800 \div 7 = 542 \dots 6

。• 乘法规则秒杀：

100 \div 7 = 14 \dots 2

（余数是 2，把 100 瞬间换成 2）；

38 \div 7 = 5 \dots 3

（余数是 3）。余数直接相乘：

2 \times 3 = 6

！秒出答案余数是 6！• 小白话原理：因为

100 = 7 \times 14 + 2

，前面是 7 的整包整箱，不管乘以谁都还是 7 的倍数；只有剩下的袖珍零头 2 才会对余数产生贡献！───────────────📌 【例子 3 · 加法与乘法混合说明（直通例 3 原型）】：已知数式

59089 + 100 \times x

能被 7 整除，求一位数

x

是多少？面对这种大数带未知数，直接分步化简：① 先算乘法项：

100 \div 7

余 2，根据乘法规则，

100 \times x

除以 7 的余数直接等价于 $2 \times x$ 。② 再算加法项：

59089 \div 7 = 8441 \dots 2

（余数是 2）。③ 混合加法合并：根据加法规则，整个数除以 7 的余数就是 $(2 + 2 x)$ 除以 7 的余数！④ 口算锁定答案：要能被 7 整除，即要求

2 + 2 x

是 7 的倍数。当

x = 6

时，

2 + 2 \times 6 = 14 = 7 \times 2

。一秒锁定

x = 6

！

✏️ 例题讲解

【例 3】阿呆写了一个两位数 59，阿瓜写了一个两位数 89，他们让小高在中间拼成五位数 59□89，使这个五位数能被 7 整除。问小高写的数是多少？

随例练习：四位数 57□2 能被 7 整除，那么这个四位数可能是多少？

✏️ 例题讲解

【练 3】四位数 57□2 能被 7 整除，那么这个四位数可能是多少？

✏️ 例题讲解

【例 4】已知 51 位数 55…5□99…9 能被 13 整除，中间方框里的数字是多少？（方框前、后各有 25 个数字）

0/3 完成

四位数 57□2 能被 7 整除，那么这个四位数可能是多少？

一五位数，它的末三位为 999。如果这个数能被 23 整除，那么这个五位数最小是多少？

判断 7315、58674、325702、96723、36060 中有几个数能被 13 整除？