台阶 3
第 3 关 · 分解合成法、极限构造与作业
例 3~例 6:工资、电话号码、最大最小与数字组数
【开篇】牛叔叔给 45 名工人发完工资,记账的那张纸破了两个洞!只剩「67□8□」,工资都一样且是整元数——总工资可能是多少?
没学过 45 的整除特征?没关系:45 = 5×9,只要同时被 5 和 9 整除就行。这就是「分解合成法」。后面还有电话号码、最大最小构造、六个数字组六位数——一道比一道精彩!
📌 📌 知识点:分解合成法
没学过 45 的整除特性?注意到 45 = 5×9(5 和 9 互质),那么「被 45 整除」=「同时被 5 和被 9 整除」。⚠️ 原书特别提醒:虽然 45 = 3×15,但考虑被 45 整除时,不能只考虑被 3 和被 15 整除——因为 3 和 15 不互质!想一想为什么?(提示:12 能被 3 整除、也能被 6 整除,但 12 不能被 18 整除)只有拆成互质的两个除数,「分别满足」才等价于「合起来满足」。
✏️ 例题讲解
【例 3】(原书·例题3)牛叔叔给 45 名工人发完工资后,将总钱数记在一张纸上。但记账的那张纸破了两个洞,上面只剩下「67□8□」,其中方框表示破了的洞。牛叔叔记得每名工人的工资都一样,并且都是整元数。请问:这 45 名工人的总工资有可能是多少元呢?
练习 3(原书配套):四位数 3□3□ 能被 36 整除,那么这个四位数可能是多少?
✏️ 例题讲解
【练 3】四位数 3□3□ 能被 36 整除,那么这个四位数可能是多少?
✏️ 例题讲解
【例 4】一天,王经理去电信营业厅为公司安装一部电话。服务人员说,目前只有形如「1234□6□8」的号码可以申请,方框内的数字可以随意选择,其余数字不得改动。王经理想申请一个能同时被 8 和 11 整除的号码,他可以申请什么号码?
练习 4(原书配套):七位数 22□333□ 能被 44 整除,那么这个七位数是多少?
✏️ 例题讲解
【练 4】七位数 22□333□ 能被 44 整除,那么这个七位数是多少?
📌 🚩 挑战极限(原书:答案太多时,抓极端)
有时候遇到题目的答案会非常多。如果只要求找出最大的或最小的,我们只需要从极端情况考虑即可。
✏️ 例题讲解
【例 5】(原书·例题5·挑战极限)在所有各位数字互不相同的五位数中,能被 45 整除的数最小是多少?最大是多少?
✏️ 例题讲解
【例 6】(原书·例题6·挑战极限)由 1、3、4、5、7、8 这六个数字所组成的六位数中,能被 11 整除的最大的数是多少?
📌 📝 作业(原书第 1 讲课后作业,选做)
① 48、75、90、122、650、594、4305、786、4100 中,能被 4 整除的有哪些?能被 25 整除的有哪些?② 12345、189、72457821、333666、54289 中,能被 9 整除的有哪些?③ 3124、3823、45235、5289、5588 中,能被 11 整除的有哪些?④ 四位数 125□ 的方框内先后填入 3 个数字,得到 3 个四位数,依次能被 9、11、8 整除,这 3 个数字的和是多少?⑤ 阿呆买了 72 支同样的钢笔,发票价格只剩「□11.4□」元,总价应该是多少?
参考答案速查:① 被4:48、4100;被25:75、650、4100 ② 189、72457821 ③ 3124、5588 ④ 依次填 1、4、6,和为 11 ⑤ 811.44 元(第⑤题详解见下)。
✏️ 例题讲解
【作业 5 详解】(最难的发票题)72 支钢笔总价形如 □11.4□ 元,求总价。
📌 💡 课堂内外
高斯说「数学是科学的皇后,数论是数学的皇后」。数论题目「入门一分钟,入坑一辈子」——从整除特征到哥德巴赫猜想,全是整数的世界。把今天的五招(尾数、末两位、末三位、数字和、奇偶差)练熟,数论的大门就推开了。
🏁 本章过关训练
0/5 完成1
四位数 52□6□ 能被 36 整除,方框里一共能填出几个不同的数?
2
四位数 48□2 能被 12 整除,方框里能填几个不同的数字?
3
五位数 3□72□ 能被 45 整除,其中最小的数是多少?
4
用 1、2、3、4、6、8 各一次组成最大的能被 11 整除的六位数。
5
某笔奖金平均分给 24 位同学,总金额是 18□4 元。若总金额能被 24 整除,方框里填几?