台阶 1
第 1 关 · 整除的定义与五大特征
整除的定义 · 尾数判断法 · 数字求和法 · 奇偶位求差法
【开篇】从这一讲开始,我们进入一个神奇而美妙的世界:数论。
人类从学会计数开始,就一直和整数打交道,在探索中发现了许多奇妙的规律,于是诞生了数论这门学科。伟大数学家高斯说过:「数学是科学的皇后,数论是数学的皇后。」我们从最基本的性质——整除开始,一起在数论的海洋里遨游吧!
📌 📌 一、整除的定义
如果整数 a 除以整数 b(b≠0),除得的商是整数且没有余数,我们就说 a 能被 b 整除(也可以说 b 能整除 a),记作 b | a。如果除得的结果有余数,我们就说 a 不能被 b 整除。例如:12÷2=6 → 12 能被 2 整除;15÷4=3……3 → 有余数,15 不能被 4 整除。
📌 ⚠️ 易错点:整除 ≠ 除尽
10÷4=2.5 没有余数,叫「除尽」,但商不是整数,所以不是整除!整除必须同时满足:① 商是整数;② 没有余数。
📌 📌 二、整除的一些基本性质(原书知识精讲)
1. 尾数判断法(1) 能被 2、5 整除的数的特性:个位数字能被 2、5 整除。(2) 能被 4、25 整除的数的特性:末两位数能被 4、25 整除。(3) 能被 8、125 整除的数的特性:末三位数能被 8、125 整除。2. 数字求和法能被 3、9 整除的数的特性:各位数字之和能被 3、9 整除。3. 奇偶位求差法能被 11 整除的数的特性:「奇位和」与「偶位和」的差能被 11 整除。把一个数从右往左数的第 1、3、5 位……统称奇数位(奇数位上的数字之和简称「奇位和」);第 2、4、6 位……统称偶数位(偶数位上的数字之和简称「偶位和」)。
✏️ 例题讲解
【例 1】判断下面 11 个数的整除性:2348、368、875、675、580、738、19854、612、9365、864、407。
(1) 哪些数能被 4 整除?哪些能被 8 整除?
(2) 哪些数能被 25 整除?哪些能被 125 整除?
(3) 哪些数能被 3 整除?哪些能被 9 整除?
(4) 哪些数能被 11 整除?
练习 1(原书配套):在数列 3124、312、3823、45235、5289、5588、661、7314 中,哪些数能被 4 整除?哪些能被 3 整除?哪些能被 11 整除?
✏️ 例题讲解
【练 1】在数列 3124、312、3823、45235、5289、5588、661、7314 中,哪些数能被 4 整除?哪些数能被 3 整除?哪些数能被 11 整除?
📌 📌 和差与整除性
如果两个数都能被自然数 a 整除,那么它们的和与差也都能被 a 整除。
📌 💡 课堂内外
整除记号 b|a 读作「b 整除 a」或「a 能被 b 整除」。箭头方向别记反:3|12 表示 3 能整除 12(12÷3 没有余数),而不是 12 整除 3。数学符号写起来快,但含义要先想清楚。
🏁 本章过关训练
0/5 完成1
在 3120、2544、3105、8768、9216 中,能被 8 整除的数有几个?
2
在 236、2575、4825、1300、3405 中,能被 25 整除的数有几个?
3
在 1848、2772、3485、5830、9460 中,能被 11 整除的数有几个?
4
三位数 □2□ 能同时被 3 和 4 整除,一共能组成多少个这样的数?
5
最小的五位数 314□□ 能被 45 整除,这个数是多少?